【微积分常用公式有哪些】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常用的微积分公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是一些微积分中常见的基本公式，包括导数、积分以及一些基本的微分方程形式。
一、导数常用公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、积分常用公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
三、基本微分方程类型
在微积分中，微分方程也是一种重要工具，以下是几种常见的一阶微分方程及其解法：
| 微分方程类型 | 解法或通解 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $，分离变量后积分求解 |
| 线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $，使用积分因子法求解 |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $，令 $ v = \frac{y}{x} $ 转换为可分离变量 |
| 恰当方程 | 若 $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ 满足 $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $，则存在势函数求解 |
| 伯努利方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n $，通过变量替换转化为线性方程 |
四、泰勒展开与麦克劳林展开
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，其一般形式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
若 $ a = 0 $，则称为麦克劳林展开：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$
常见的麦克劳林展开式如下：
| 函数 | 展开式 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
总结
微积分中的公式虽然种类繁多，但掌握基础的导数、积分、微分方程和泰勒展开等核心内容，可以解决大部分实际问题。建议在学习过程中结合练习题进行巩固，以提升对公式的理解和应用能力。