问立体几何向量垂直乘积为多少

【立体几何向量垂直乘积为多少】在立体几何中，向量的运算是一个重要的内容，尤其是在处理空间中的点、线、面关系时。其中，“向量垂直”是常见的概念，而“向量垂直乘积”通常指的是两个向量互相垂直时的乘积形式。本文将对这一问题进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。

一、基本概念

1. 向量：在三维空间中，向量可以用坐标表示为 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $。

2. 向量垂直：若两个向量 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 的夹角为 $ 90^\circ $，则称它们互相垂直。

3. 向量乘积：

- 点积（数量积）：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $

- 叉积（向量积）：$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $

二、向量垂直的判断方法

当两个向量垂直时，它们的点积为零，即：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

这是判断两向量是否垂直的常用方法。

三、向量垂直时的乘积结果

四、实际应用举例

假设 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (-2, 1, 0) $，判断它们是否垂直：

- 计算点积：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

$$

结论：$ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 垂直。

再计算叉积：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

-2 & 1 & 0 \\

\end{vmatrix}

= \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 3 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2))

$$

$$

= \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(5) = (-3, -6, 5)

$$

该向量与原向量均垂直，且长度为 $ \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 36 + 25} = \sqrt{70} $，符合 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{14} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{70} $。

五、总结

在立体几何中，两个向量垂直时，它们的点积为零，而叉积不为零，其方向与两向量垂直，模长为两向量长度的乘积。理解这些关系有助于解决空间几何问题，如求平面法向量、判断直线与平面的关系等。

以上内容为原创整理，旨在帮助读者更清晰地理解向量垂直时的乘积特性。