大家好，我是小跳，我来为大家解答以上问题。弹性势能表达式推导，弹性势能表达式很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、设想在重力作用下，一个物体缓慢从地面升至高度h处。

2、 在有限高度内，重力可视为恒量mg。

3、不随高度的变化而变化。

4、 因此 重力对物体所做的功为 -mgh。

5、（重力与位移方向相反，所以功为负） 重力属于保守力，保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。

6、 因此，重力势能的表达式为 mgh。

7、（以地面为势能零点） ------------------------------ 而对一个弹性系统，弹性恢复力 F = - kx。

8、 （k为弹性恢复系数，x表示离开平衡位置的距离）。

9、 与重力不同，弹性恢复力不是常量，随着位移x的变化而变化。

10、 因此 这个题目需要微积分知识的基础。

11、 距离平衡位置为x时，恢复力为 F = -kx，负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。

12、其中k为弹性恢复系数。

13、 从平衡位置 到达x位置，恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。

14、即 W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2 恢复力属于弹性系统的内力，和重力一样，也属于保守力。

15、 保守力所做的功 = 保守势能变化的负值 以平衡位置为势能零参考点。

16、因此 弹性势能 E = -W = kx^2/2 =================================================== 做 F---x 关系曲线。

17、从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。

18、 那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。

19、 这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。

20、 上面讲的这段 在中学 接触过没？如果没有的话，那就直接承认。

21、对于知识储备不足而尚不能证明的理论，先暂且直接承认，这也是常用的学习方法。

22、 对于本题目， 以 弹性力 F = -kx 作为y轴， 以 伸缩量 x 作为 x轴 F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。

23、 经从该直线的起点和终点向x轴做投影后，得到第四象限的一个三角形。

24、 三角形的面积为 S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2 由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方），所以 F所做的功是面积的负值，即 W = -S = -kx^2/2 而弹性势能为 E = -W = kx^2/2。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。